Matematika (Logaritma,bentuk akar,bilangan pangkat)

Rumus dasar logaritma :
a x = b ⇔ x = a log b
Sifat-sifat Logaritma :
1. a log a x = x
2. log ab = log a + log b
3. a log ab = a log a + a log b
4. log b a = log a – log b
5. a log ba = a log a - a log b
6. a log b =abxxloglog ; x > 0 dan x ≠ 1=b log a
1 �� { 1 per b log a }
= log am bm �� {(a pangkat m) log (b pangkat m) }
7. a log bn = n . a log b sehingga a log a x = x . a log a = x . 1 = x ( bukti rumus 1 di atas)
8. a b a log = ab �� a pangkat a log b = a pangkat b
9. a log b . b log c = a log c
Persamaan :
a log f(x) = a log g(x) maka f(x) = g(x) > 0
Pertidaksamaan :
a log f(x) > a log g(x)
(i) f(x) > g(x) untuk a >1
f(x) < g(x) untuk 0<a<1
(ii) f(x) >0
(iii) g(x)>0
Himpunan Penyelesaiannya = (i) ∩ (ii) ∩ (iii)

Contoh Soal :
1. Nilai x yang memenuhi x log 4 = -
2
1 adalah :
Jawab
Rumus dasar a x = b ⇔ x = a log b
x log 4 = -
2
1 ⇔ x−1/ 2 = 4
1/ 2
1
x
= 4 ⇔ x1/ 2 =
4
1 ⇔ (x1/ 2 )2 = )2
4
(1
⇔ x =
16
1
2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
3 log (2x-5) < 2 adalah :
Jawab :
Lihat rumus pertidaksamaan :
3 log (2x-5) < 2
(i) 3 log (2x-5) < 3 log 9 ( 2 = 2 3 log 3 = 3 log 32 = 3 log 9 )
2x-5 < 9
2x < 14
x < 7 …(1)
(ii) agar terdefinisi maka f(x) > 0
Dalam hal ini : (2x-5) > 0
2x > 5
x >
2
5 ……….(2)
HP= (1) ∩ (2) = x < 7 dan x >
2
5
Jadi jawabannya adalah
2
5 < x < 7

2. BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

1. Bilangan Berpangkat Sederhana

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut.

Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas, disebut sebagai perkalian berulang. Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas dengan menggunakan notasi bilangan berpangkat. Perkalian bilanganbilangan di atas dapat kita tuliskan dengan:

Bilangan 2³, 3⁵, 6⁶ disebut bilangan berpangkat sebenarnya karena bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang. Bilangan berpangkat aⁿ dengan n bilangan bulat positif didefinisikan sebagai berikut.

3. Bilangan Berpangkat Negatif

Apa yang terjadi jika m = 0? Dari pembahasan di atas jika dipilih m = 0, maka:

B. Bilangan Pecahan Berpangkat

Untuk menentukan hasil pemangkatan bilangan pecahan berpangkat dapat di gunakan definisi bilangan berpangkat. Jika a, b∈ B, b ≠ 0, n adalah bilangan bulat positif maka:

C. Bentuk Akar

Dalam matematika kita mengenal berbagai jenis bilangan. Beberapa contoh jenis bilangan diantaranya adalah bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Contoh bilangan rasional seperti: , 5, 3 dan seterusnya. Sedangkan bilangan irrasional adalah bilangan riil yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Bilangan-bilangan seperti termasuk bilangan irrasional, karena hasil akar dari bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional.

Bilangan-bilangan semacam itu disebut bentuk akar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bentuk akar adalah akar-akar dari suatu bilangan riil positif, yang hasilnya merupakan bilangan irrasional.

1. Operasi Hitung Bentuk Akar

Dua bilangan bentuk akar atau lebih dapat dijumlahkan, dikurangkan, maupun dikalikan.

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Untuk memahami cara menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar, perhatikan contoh - contoh berikut.

Dari contoh di atas, maka untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar dapat dirumuskan sebagai berikut. Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, berlaku hubungan:

b. Perkalian Bentuk Akar
Untuk sembarang bilangan bulat positif a dan b berlaku sifat perkalian berikut.

Sifat di atas sekaligus dapat digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.

c. Pemangkatan Bilangan Bentuk Akar
Bentuk akar juga dapat dipangkatkan. Adapun pemangtkatan bentuk akar akar didapat beberapa sifat.

2) Pemangkatan bentuk dengan pangkat negatif
Bentuk akar dengan pangkat negatif sama halnya dengan bilangan berpangkat bilangan negatif. Sehingga:

2. Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat Pecahan

Pada pembahasan yang lalu telah disebutkan beberapa sifat dari bilangan berpangkat bulat positif. Sifat-sifat tersebut akan digunakan untuk mencari hubungan antara bentuk akar dengan pangkat pecahan. Sifat yang dimaksud adalah .

Selain sifat tersebut terdapat sifat lain, yaitu:Jika ap = aq maka p = q dengan a > 0, a ≠ 1

a. Hubungan dengan
Perhatikan pembahasan berikut.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka:

D. Merasionalkan Bentuk Akar Kuadrat

Dalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapat berupa bentuk akar. Pecahan adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya berbentuk akar. Penyebut pecahan seperti itu dapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung dari bentuk pecahan tersebut.

1. Merasionalkan Bentuk

Untuk menghitung nilai ada cara yang lebih mudah daripada harus membagi 6 dengan nilai pendekatan dari 3, yaitu dengan merasionalkan penyebut. Cara ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat perkalian bentuk akar: